Henri Poincaré (1854-1912), qui s’était déjà illustré en 1893 en proposant une solution à l’équation des télégraphistes, était très impliqué dans les développements de la T.S.F. En 1908, le mathématicien-physicien a publié de nombreux articles dans ce domaine (Poincaré [1902a, 1902b, 1907]) ainsi qu’un ouvrage intitulé La théorie de Maxwell et les oscillations hertziennes. La Télégraphie sans fil (1)  est publié en 1904 puis traduit en anglais et en allemand ; il constitue, d’après Blondel [1912, p. 100], le « premier exposé vraiment scientifique » sur le sujet.

Figure 1: L’ouvrage d’Henri Poincaré susmentionné, édition Scientia 1907.

Comme dans tous les domaines qu’il a abordés, Poincaré est une autorité unanimement reconnue, comme en attestent les rapports qu’il entretient avec les deux spécialistes de la T.S.F. en France que sont Gustave Ferrié et Camille Tissot, ainsi que sa présence dans bon nombre de comités scientifiques comme celui de la revue La Lumière Électrique. Ce n’est donc pas un hasard s’il est nommé président du Conseil de perfectionnement de l’École Supérieure des Postes et Télégraphes en 1901. Le directeur, Édouard Estaunié (1862-1942), joue même cette carte pour redorer le blason de l’École, ce qui dépassera toutes ses espérances (2).

Figure 2 : l’officier de marine Camille Tissot (1868-1917). C’est en qualité de professeur de physique à l'École navale de Brest (à partir de 1891) qu'il se consacre à l'étude des oscillations électriques et de leur application dans le domaine maritime. Pionnier de la télégraphie sans fil et de son application à la communication maritime, il établit en 1898 la première liaison radio depuis un navire. Il fait une thèse de doctorat sur la résonance des antennes en 1905 – Poincaré en est un des examinateurs, et interlocuteur régulier de Tissot sur ces sujets.

Dans l’édition de 1907 de son ouvrage (cf. figure 1 et NbdP2), Poincaré expose p.90 de manière fort pédagogique les avantages de la télégraphie radio sans fil par rapport à la télégraphie optique (signaux lumineux) utilisée jusque là.

Ces avantages présentés par Poincaré sont les suivants :
- longueur de parcours : « la longueur d’onde [du signal hertzien] étant plus grande [que celle du signal lumineux], la diffraction devient notable ; d’où la possibilité de contourner les obstacles. L’obstacle le plus important est celui qui est dû à la rotondité même du globe ». Ainsi, en télégraphie optique, on pouvait aller jusqu’à 50 km en choisissant des points hauts ; « avec la télégraphie sans fil, on ira à 300 km ».
- le signal hertzien n’est pas arrêté par le brouillard, pour la même raison que précédemment : la lumière « est dissipée par les réflexions multiples qu’elle subit à la surface des nombreuses vésicules du brouillard (…) pour que ces réflexions se produisent, il faut que les dimensions de ces vésicules soient grandes par rapport à une longueur d’onde ». Poincaré explique : « Cette transmission facile de la lumière hertzienne à travers le brouillard est une propriété précieuse, et l’on a proposé de s’en servir pour éviter les collisions en mer ».
- communication vers des postes mobiles : la communication d’un poste fixe vers un mobile est difficile avec un signal lumineux, quand on ne connaît pas la position du mobile. Pour le signal hertzien, le réglage directionnel est « long et délicat », de sorte qu’ « on ne peut guère communiquer qu’entre postes fixes (3) » ; au contraire, « des ondes hertziennes envoyées indifféremment dans toutes les directions permettront de communiquer avec un poste mobile, quand même la position n’en serait pas connue. D’où l’importance du nouveau système pour la marine ».


Poincaré souligne toutefois un inconvénient inhérent à ce dernier avantage, en temps de guerre notamment. L’ennemi peut difficilement capter un signal lumineux, directionnel et à haute altitude. « Les ondes hertziennes sont, au contraire, envoyées dans toutes les directions ; elles peuvent donc impressionner [atteindre] les cohéreurs [récepteurs] ennemis aussi bien que les cohéreurs amis et, pour le secret, on ne peut plus se fier qu’à son chiffre. De plus, l’ennemi peut troubler les communications en envoyant des signaux incohérents qui viendront se confondre avec les signaux émis par la station amie ».

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Les conférences de Poincaré à l’École des postes et télégraphes aborderont des thèmes variés :
- Propagation de courants variables sur une ligne munie d'un récepteur,
- Théorie mathématique de l’appareil téléphonique,
- La T.S.F. et la diffraction des ondes le long de la courbure de la Terre
- La T.S.F. et la méthode théorique de Fredholm,
- La dynamique de l'électron et le principe de relativité.

Les conférences données par Poincaré en mai-juin (4) 1908 sont éditées dans une série de cinq numéros de la revue La Lumière Électrique, alors considérée comme une référence en matière d’électrotechnique et de télégraphie. À l’auditoire des conférences viennent s’ajouter les lecteurs de la revue, touchant ainsi un assez large public. La série publiée aborde, par ordre chronologique, les sujets suivants :
- Samedi 28 novembre 1908 (p. 257) : L’émission d’ondes et l’amortissement ;
- Samedi 5 décembre 1908 (p. 299) : Étude du champ dans le voisinage de l’antenne ;
- Samedi 12 décembre 1908 (p. 321) : Transmission des ondes et la diffraction ;
- Samedi 19 décembre 1908 (p. 353) : La réception des signaux ;
- Samedi 26 décembre 1908 (p. 385) : Télégraphie dirigée. Oscillations entretenues (5).

Notons que chaque conférence est publiée en tête de la livraison hebdomadaire. L’éditorial de la revue reprend le contenu et les conclusions essentielles :

Dans ces conférences, l’auteur se défend de vouloir faire une théorie complète de la Télégraphie sans fil, mais son intention est simplement d’exposer quelques théories mathématiques, susceptibles de faciliter l’intelligence de ces phénomènes. [Poincaré 1908, p. 257]

Il passe ensuite à l’étude des oscillations entretenues, établit quatre équations générales, dont une différentielle qui lui permet de déterminer la condition de stabilité du régime et aussi les conditions de possibilité du problème. Au point de vue pratique, le seul fait d’avoir un arc dans le circuit du courant rend possible les oscillations entretenues, à condition, comme le montre le calcul, de ne pas dépasser une certaine fréquence. [Poincaré, 1908, p. 385]

L’émetteur à arc (technologie que détaille Poincaré dans sa conférence) est un dispositif inventé en 1903 par Valdemar Poulsen (1869-1942), le même qui invente en 1900 le premier enregistreur magnétique (ancêtre du microphone). Couplé à une antenne, il permet l’émission d’un signal électromagnétique de fréquence donnée – le jaillissement d’un arc entre deux sphères était à la base des expériences de Hertz en ondes radio.
L’émetteur à arc sera largement utilisé dans la radiotélégraphie naissante (notamment dans la sécurité maritime qui fut une des premières applications d’envergure), jusqu’à l’apparition des premiers tubes électroniques qui remplaceront progressivement l’émetteur à arc (celui-ci a néanmoins perduré comme émetteur de secours dans la marine jusque dans les années 1980).
Il s’agit d’un des premiers convertisseurs (d’où le nom parfois donné de convertisseur à arc) de courant continu en signal radioélectrique (énergie électromagnétique rayonnée).

Si on place en dérivation sur un arc électrique C (jaillissant entre deux électrodes reliées à une source continue B) une capacité suivie d’une bobine d’inductance, on constate que ce circuit résonateur « LC » est le siège d’oscillations entretenues. Les oscillations entretenues sont couplées à l'antenne radioélectrique qui permet d'émettre l'onde radio à une certaine fréquence. Comme rappelle Poincaré, « il n’y pas connexion directe entre l’antenne et l’excitateur ; l’ébranlement ne se transmet à l’antenne que par induction ».
Le surnom d’arc chantant a été donné par William Du Bois Duddell à ce dispositif après qu’il a pu constater que ce dernier pouvait également produire des sons (résonance à une fréquence audio donnée).

La mise en équation des oscillations entretenues par l’arc chantant

Dans sa dernière conférence Henri Poincaré s’intéresse plus particulièrement au dispositif de l’arc chantant et aux oscillations entretenues qu’il produit. Le schéma du montage présenté Figure 5 est identique à celui de Blondel [1905b, p. 77] :

Figure 5 : Oscillations entretenues par l’arc chantant - d’après Poincaré [1908, p. 390].

Ce circuit comprend « une source de force électromotrice constante continue E, une résistance et une self, et, en parallèle, d’une part un arc, de l’autre une self et une capacité. » [Poincaré 1908, p. 390]. Il réalise alors la mise en équation des oscillations de l’arc chantant – elle avait été faite auparavant (6), mais la formulation de Poincaré est plus synthétique que celle de ses prédécesseurs et il établit en outre la correspondance avec ses travaux sur les cycles limites. En appelant x la charge du condensateur et i le courant dans le circuit extérieur, l’intensité du courant dans la branche comportant le condensateur de capacité s’écrit :

La force électromotrice de l’arc chantant

Poincaré précise :

étant un terme qui correspond à la résistance interne de la self et aux autres causes possibles d’amortissement (9), y compris le rayonnement par l’antenne, le terme dû à l’arc.

Figure 6 : Oscillations entretenues par l’arc chantant, schéma simplifié. R et L’ sont respectivement la résistance et l’inductance, figurant à gauche dans le schéma 2.

En négligeant la self extérieure (10) L’ et en égalant la tension dans la branche inférieure et médiane du circuit simplifié, il écrit : dont il déduit

Il explique alors que

si on suppose connue la fonction φ, l’équation (P₂) donne une relation entre i et x’ ou entre i+x’ et x’. 

La résolution de cette équation du second degré en i fournit effectivement une relation entre i et x’. Mais le raisonnement employé par Poincaré probablement basé sur l’utilisation du Théorème des Fonctions Implicites lui permet de s’affranchir de tous ces calculs. Si l’on suppose comme il le fait que la fonction φ est connue, l’équation (P₂) conduit à une fonction F qui relie i à x’. Posons : i = F (x’) et remplaçons dans l’équation (P₂) on a alors :

Il peut ainsi remplacer φ dans l’équation P₁ par θ (x’). La difficulté est levée car l’équation différentielle ne dépend désormais plus que d’une seule variable x. Il l’écrit :

Poincaré a ainsi réalisé la toute première mise en équation (12) des oscillations dont l’arc chantant est le siège. Il est important de souligner que cette équation (P₃) correspond exactement par dualité à celle qu’établira Blondel [1919b] pour la triode puis Van der Pol [1926]. D’ailleurs, l’analogie que présentent les oscillations entretenues par l’arc chantant et par la triode sera mise en lumière par Paul Janet [1919].

La stabilité des oscillations entretenues et les cycles limites

Poincaré démontre alors plus de vingt ans avant Andronov [1929a], que la stabilité de la solution de l’équation (P₃) est liée à l’existence d’une courbe fermée : un cycle limite. Pour y parvenir il se place, en faisant une substitution de variables, dans le plan de phase qu’il a lui-même introduit dans ses mémoires « Sur les Courbes définies par une équation différentielle » [Poincaré 1886, p. 168] en posant :

Un cycle limite est une orbite périodique isolée dans l’ensemble des orbites périodiques d’un système donné : Poincaré introduit cette notion dans son second mémoire de 1882 (13), à partir de ses travaux sur le problème des trois corps notamment.

La représentation de l’évolution d’un système (pendule par exemple) au moyen d’une équation différentielle dans le plan de phase défini par Poincaré, c’est-à-dire, dans un espace de coordonnées tel que l’ordonnée soit la dérivée par rapport au temps de l’abscisse (par exemple (x,y) = (position, vitesse) conduit Poincaré à une classification des points fixes ou points d’équilibres du système. Il démontre alors, par analogie avec un système topographique, qu’il en existe de trois types différents (14) qu’il appelle : cols, fonds et sommets ou cols, nœud et foyer. Puis, il ajoute qu’en dehors de ces points d’équilibre il existe également des courbes qu’il nomme cycles limites et qui correspondent à des solutions périodiques pour le système considéré, dont les autres courbes définies par la même équation différentielle se rapprochent asymptotiquement sans jamais les atteindre.

Poincaré fournit ensuite la représentation graphique suivante :

Figure 8 : Courbe fermée, d’après Poincaré [1908, p. 390].

Il est important de remarquer d’une part que cette courbe fermée est représentée dans le plan de phase , c’est-à-dire, le plan de phase tension-courant (15) de l’arc et, d’autre part qu’elle ne constitue qu’une métaphore de la solution, dans la mesure où Poincaré n’a fait appel à aucune méthode d’intégration graphique pour l’obtenir. Cette représentation n’a en réalité pour unique but que celui de préciser le sens de parcours de la courbe trajectoire : condition préalable nécessaire à l’établissement de la démonstration qui suit alors.

On peut construire les courbes qui satisfont à cette équation différentielle, à condition de connaître la fonction . Les oscillations entretenues correspondent aux courbes fermées, s’il y en a. Mais toute courbe fermée ne convient pas, elle doit remplir certaines conditions de stabilité que nous allons étudier. Tout d’abord on voit que, si y=0, dy/dx est infini, la courbe a des tangentes verticales. En outre, si x décroît, x’, c’est-à-dire, y, est négatif, donc la courbe doit être décrite dans le sens de la flèche. [Poincaré 1908, p. 390].

Condition de stabilité. – Considérons donc une autre courbe non fermée satisfaisant à l’équation différentielle, ce sera une sorte de spirale se rapprochant indéfiniment de la courbe fermée. Si la courbe fermée représente un régime stable, en décrivant la spirale dans le sens de la flèche on doit être ramené sur la courbe fermée, et c’est à cette seule condition que la courbe fermée représentera un régime stable d’ondes entretenues et donnera lieu à la solution du problème. [Poincaré 1908, p. 391]