Cette approche de l’économie était assurément inédite à cette époque ; de fait, l’auteur lui-même écrivait :

Pour l’anecdote, signalons que, conformément aux attentes de l’auteur, cet ouvrage n’a guère connu de succès à sa publication, au point que le mathématicien se décida, vingt-cinq ans plus tard, à réécrire complètement son livre, à le rebaptiser simplement « Principes de la théorie des richesses » et à n’utiliser cette fois qu’un « langage littéraire ». Notre analyse portera essentiellement sur la première version de l’ouvrage, celle de 1838.

Au lieu de s’interroger, comme ses prédécesseurs, sur les origines et la formation de la valeur, Cournot s’est donc demandé dans quelles conditions la valeur est la plus grande possible : cette formalisation nouvelle possède le grand avantage de pouvoir se traduire aisément en langage mathématique.
Ainsi, conformément à son « axiome » de base, l’auteur a cherché à rendre maximal le revenu total égal à la valeur totale débitée annuellement. A cet effet, il se proposa de maximiser la fonction R : p → R(p) = pF(p) qui exprime le revenu, à savoir le prix multiplié par la quantité demandée.
On peut donner une représentation graphique de cette dernière fonction avec les indications de l’auteur. En effet, dans le plan dont l’axe horizontal se rapporte aux prix p et l’axe vertical aux valeurs de R(p), la courbe, située dans le premier quadrant, part de l’origine (car R(0) = 0), croît avant de décroître vers l’axe horizontal (car : en effet, au fur et à mesure que le prix augmente, la quantité demandée diminue pour s'annuler "à la limite").

Le problème à résoudre consiste à trouver le point où cette courbe atteint son point le plus haut.
Analytiquement, la réponse à cette question est fournie par le théorème de Fermat relatif aux maxima(10), c’est-à-dire par l’annulation de la dérivée de la fonction R par rapport à la variable p : elle est donc donnée par l’équation suivante :

F(p) + pF’(p) = 0 (1)

Remarquons que Cournot appelle « notation de Lagrange » la dérivée F’ de la fonction de débit D.
La question étudiée est également résolue par l’auteur géométriquement à partir de la représentation graphique de la fonction donnant la quantité demandée F(p) en fonction du prix p.

et , donc le triangle est bien isocèle.

Mais, l’égalité est toute théorique puisque la fonction de demande est inconnue explicitement. C’est pourquoi, Cournot propose de déterminer concrètement le prix assurant le maximum recherché en examinant les variations des grandeurs considérées.

On peut ensuite penser que Cournot remplace, dans l’égalité (1), F’(p) par , pareille approximation étant couramment utilisée à son époque(11). Un tel passage du discret, avec les variations ΔD et Δp, au continu, avec la dérivée F’(p), peut être rigoureusement expliqué de nos jours de deux manières : soit classiquement en faisant tendre Δp vers 0, soit dans le cadre de l’analyse non standard(12) en choisissant Δp infiniment petit. Observons au passage que Cournot travaillait déjà dans l’esprit de l’analyse non standard, pourtant créée plus d’un siècle plus tard, ainsi qu’en atteste notamment le phrase suivante : « la fonction p F(p) s’évanouit encore quand p devient infini ».
Ainsi donc, l’auteur s’intéresse au signe de l’expression E = , qui se retrouve aisément dans la condition (1). En effet, pour autant que l’on assimile le rapport à la valeur de la dérivée la loi de demande, on a :

La dérivée R’ est négative ou positive (d’où la fonction R est décroissante ou croissante), selon que E < 0 ou E > 0 respectivement. De façon équivalente, Cournot écrit :

(…) selon que l’on aura ou , l’accroissement de prix Δp fera augmenter ou diminuer le produit pF(p) ; et l’on saura conséquemment si les deux valeurs p, p + Δp (…) tombent en deçà ou au-delà de la valeur qui porte au maximum le produit en question.

Or, les inégalités envisagées par Cournot peuvent évidemment s’écrire sous la forme équivalente ou encore . Cela revient alors à comparer les variations relatives de la demande et du prix, ce qui convient bien aux raisonnements des économistes.
Ces deux dernières inégalités mises en avant pour résoudre son problème, soit s’écrivent de façon équivalente ou encore . Ces considérations permettent de penser que Cournot avait déjà perçu tout l’intérêt du concept économique d’élasticité, dont la paternité est pourtant souvent attribuée à l’anglais A. Marshall (1842 – 1924). En effet, dans son célèbre ouvrage Principles of Economics (1890), Marshall recourait au rapport des variations relatives de la demande et du prix et appelait ce rapport « élasticité »(13) de la demande. Depuis lors, les économistes évoquent, selon les situations étudiées, deux types d’élasticité que l’on nomme fréquemment « élasticité-arc » et « élasticité-point » ; il est remarquable de constater que Cournot entrevoyait déjà ces deux possibilités.

Les œuvres complètes de Cournot sont rassemblées dans 10 tomes publiés par la Librairie Philosophique J. Vrin. Certaines sont aussi numérisées par BnF-Gallica, la plupart des tomes étant accessibles par internet sur le site LiNuM (faire une recherche Cournot dans le champ).

Diverses études ont été réalisées sur Cournot et son œuvre. Mentionnons l’article suivant consacré aux résultats économiques de l’auteur :

Par ailleurs, des ouvrages abordent d’autres aspects des travaux que le point de vue économique. Citons notamment :

Pour plus d’informations sur le concept d’élasticité, nous renvoyons le lecteur à tout ouvrage donnant les bases de l’économie politique, ainsi qu’à l’article suivant consacré à diverses questions de didactique sur le sujet :

Enfin, pour une introduction accessible à l’analyse non standard, et notamment une présentation du concept d’élasticité dans ce contexte, nous recommandons le livre :

• Analyse infinitésimale : le calculus redécouvert, par Bair J. et Henry V , éditions Academia-Bruylant, Louvain-la-Neuve, 2008.