Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis

Georg Cantor (1895) - Analyse par Jean-Pierre Belna, chargé de cours à l’université Paris VIII Saint-Denis et à l’École Supérieure d’Électricité, chercheur associé à l’équipe SPHERE-REHSEIS du CNRS (Université Paris VII- Denis Diderot)

Cantor expose les résultats qu’il a obtenus sur les nombres transfinis, c’est-à-dire les nombres (cardinaux et ordinaux) que sa théorie permet d’attribuer aux ensembles infinis. Il établit une relation d’ordre entre les cardinaux et procède aux différentes opérations avec ces cardinaux : addition, multiplication, exponentiation.

Cantor et les infinis

Georg Cantor (1874) - Analyse par Patrick Dehornoy, Laboratoire de mathématiques Nicolas Oresme, Université de Caen

L’article démontre la dénombrabilité des nombres algébriques et la non-dénombrabilité des nombres réels. Il ouvre l’étude de l’infini du point de vue mathématique, marque la naissance de la théorie des ensembles – en fait une théorie de l’infini –, et porte en germe l’hypothèse du continu, premier problème de Hilbert (1900) toujours objet de recherche.

La démonstration de la transcendance de e

Charles Hermite (1873) - Analyse par Michel Waldschmidt

Les textes de Hermite (1873) rassemblés ici démontrent la transcendance de e et introduisent des méthodes nouvelles par rapport à Lambert (1761) et Liouville (1844) ; elles ouvrent la voie à la démonstration de la transcendance de Pi et de l’impossibilité de la quadrature du cercle.

Lambert et l’irrationalité de π (1761)

Johann Heinrich Lambert (1761) - Analyse par Alain Juhel

Ce texte d’une grande diversité est la preuve de l’irrationalité de π et l’acte de naissance des fonctions hyperboliques (sinus et cosinus hyperboliques).

Mélange d'analyse Algébrique et de Géométrie

Janot de Stainville (1815) - Analyse par Norbert Verdier

Dans ce texte de trois pages, Stainville donne une démonstration du caractère irrationnel de la base des logarithmes e ; il dit tenir cette démonstration de Joseph Fourier via Poinsot.

A propos de l'existence des nombres transcendants

Joseph Liouville (1844) - Analyse par Michel Mendes France

Découvrez l’analyse "Liouville, le découvreur des nombres transcendants" de Michel Mendès-France, mathématicien, Professeur émérite de mathématiques à l'Université de Bordeaux I.